同じ次元の空間が2つあったとしてもどちらかがもう一方の部

同じ次元の空間が2つあったとしてもどちらかがもう一方の部。③については、次元定理というものの他に、もっと広い意味での定理で加群の第一同型定理と呼ばれるものがあります。線形代数に関する質問が3つあります
①rankA(Aは行列)が像空間の次元である理由がよくわかりません ②行列
A=
2 1 3 0
( 0 1 0 1 )
0 0 0 2
なる線形写像
f:R^4→R^3
はrankA=3であるため
Ker(f)と、像空間の次元が一致するから、全射である
とありましたが一致すると全射になる理由がわかりませんでした
同じ次元の空間が2つあったとしても、どちらかがもう一方の部分空間である可能性があると思ったからです
③次元定理
定義域の次元=Ker(f)の次元+rank(f)
が突然紹介され便利ですが、不思議です
もし証明とか、理解の仕方とかご存じでしたら教えていただきたいです

③については、次元定理というものの他に、もっと広い意味での定理で加群の第一同型定理と呼ばれるものがあります。それを調べたら気持ちが何となくわかると思います。何を見て勉強してるの?大抵それらの証明は書いてあるはずだけど

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