[高校数学]の記事一覧 2全ての有理数p,qにおいてα^

[高校数学]の記事一覧 2全ての有理数p,qにおいてα^。1背理法で示します。高校数学です α^3=5の時、次の問いに答えよ? (1)αが有理数でないことを示せ (2)全ての有理数p,qにおいて、α^2+αp+q≠0であることを示せ? 答えを無くしてしまいました 特に(2)の答えを教えてください 3。^{} ○ 有理数·無理数一 ^{}-^{}+= の解がすべて無理数であることを
証明したい。 // /{} が有理数であると仮定すると, 互いに素な
自然数, を用いて やわとが/{} =/ {} {} と書ける。 分母を払っ ②
の左辺は偶数だからも偶数とごれ こえじないと _{}/ を②に代入して
各辺をで割ると^{=^{}} 同様にかも=/{ 方程式の有理数解 次
方程式 $^{-^{}+-=}$ の実数解は無理数であることを, 背理法を用いて
示せ

分類。実数,について+,がともに整数であるとき。自然数に対して^+^は整数
であることを示せ を数学的帰納法で証明するやり方をa+b>c, b+c>
a, c+a>bならばa,b,cは全て正数である。」 背理法で示せ。 質問<
3657>小豆「証明」AB≠ACである⊿ABCにおいて。辺BCの中点を
M。∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。円の外にある点から円に
引いたつの接線の接点を,とすると。 ,の長さが等しいことを証明せよ。2全ての有理数p,qにおいてα^2。いずれかを含む。全ての有理数,においてα^ α ≠であることを示せ。[高校数学]の記事一覧。問い。次方程式 ^–^-+- = の三つの解が 全て整数となるような
実数の値を求めよ。問い。,,は整数とする?三次方程式^+^++=が
有理数αに解をもてばαは整数であることを示せ。更に。四角形。四角形
の面積をそれぞれ,とすると。は積分範囲において上に凸な関数で
あり。下記の不等式が成り立つ。この手のも問題は必ず。互い素な自然数。,
を用いて式=/となるような有理数だと仮定し。,が互いに素でないので矛盾と
誘導

1背理法で示します。αが有理数とすると、互いに素であるm,nを用いて、α=m/nとかけます。つまり、nα=mです。両辺3乗すると、α^3=5より、5n^3=m^3…①ここから、mは5の倍数なので、あるkを用いてm=5kとかけます。①において、m=5kとして、5n^3=125k^3?n^3=25k^3よって、nも5の倍数になるから、n,mが互いに素であることに矛盾します。よって、αが有理数としたことが誤りであり、αは無理数です。2こっちも背理法です。あるp,qを持ってきた時に、α^2+αp+q=0…②が成立するとします。②の両辺にαをかけて、α^3+α^2p+αq=0?5+α^2p+αq=0…③また、②の両辺にpをかけてα^2p+αp^2+pq=0…④④-③より、αp^2-q+pq-5=0?αp^2-q=5-pq…⑤⑤について、pqは有理数なので右辺は有理数。左辺はαが無理数でp^2-qが有理数だから、左辺が有理数であるためにはp^2-q=0でなければならない。この時左辺が0なのだから右辺も0。以上まとめるとp^2-q=0…⑥5-pq=0…⑦でなければ⑤は成立しない。一方、⑥よりq=p^2であるのでこれを⑦に放り込むと、5-p^3=0つまりp^3=51から●^3=5を満たす●は無理数なので、これはpが有理数であることに矛盾。つまり、α^2+αp+q=0を満たす有理数p,qは存在しない。言い換えれば、全ての有理数p,qでα^2+αp+q≠0が成立します。α=m/nm,n整数かつ互いに素かつn≠0m^3/n^3=5よりm^3=5n^3mは5の倍数。m=5kとして125k^3=5n^3よりn^3=25k^3nは5の倍数互いに素に矛盾する。∴このようなm,nは存在しない。有理数ではない。α^2+αp+q≠0α^3=α^2+αp+qα-p+αp^2-q+pq=5仮にα^2+αp+q=0ならばαp^2-q+pq=5よりαp^2-q=5-pqかつ1よりαは無理数だからp^2-q=5-pq=0でなければ矛盾する。このときpq=0かつp^2-q=0よりP=q=0となるので、全ての有理数p,qにおいては成り立たない。1両辺に三乗根を付けてα^3^1/3=5^1/3α=5^1/3よって、αは無理数2α+Xα+Y=α^2+αp+qとするとα^2+X+Yα+XY=α^2+αp+qよって、X+Y=p , XY=qここで、p,qが有理数ならばX,Yも有理数でなくてはならないしたがって、α+X≠0 , α+Y≠0となるためα^2+αp+q≠0は正しい

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